A. Konsep Nilai Mutlak

Nilai mutlak atau nilai absolut merupakan materi matematika kelas x untuk mata pelajaran matematika wajib di kurikulum 2013. Secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan yaitu jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Nilai Mutlak dilambangkan “\(| … |\)“. 

Perhatikan ilustrasi berikut. 

konsep nilai mutlak

Berdasarkan gambar di atas, berapakah jarak masing-masing objek dari permukaan air laut?

1. Berapakah jarak burung dari permukaan air laut?

Jawaban

20 meter di atas permukaan air laut. Jika kita nyatakan dalam bentuk nilai mutlak menjadi |+20|=20 atau |20|=20

[collapse]


2. berapakah jarak perahu dari permukaan air laut?

Jawaban

pada permukaan air laut atau 0 meter dari permukaan air laut. Jika kita nyatakan dalam bentuk nilai mutlak menjadi |0|=0

[collapse]

3. Berapakah jarak ikan dari permukaan air laut?

Jawaban

10 meter di bawah permukaan air laut. Jika kita nyatakan dalam bentuk nilai mutlak menjadi |-10|=10

[collapse]


4. Berapakah jarak kapal selam dari permukaan air laut?

Jawaban

20 meter di bawah permukaan air laut. Jika kita nyatakan dalam bentuk nilai mutlak menjadi |-20|=20

[collapse]


Konsep nilai mutlak adalah konsep jarak, “TIDAK PERNAH BERNILAI NEGATIF”.

Tanda + dan – menyatakan posisi objek. tanda “+” untuk objek yang berada di atas permukaan air laut dan tanda “-” untuk objek yang berada di bawah permukaan air laut

Contoh Soal

Tentukan nilai dari

a. \(|13|\)

Jawaban

\( |13|=13 \)

[collapse]


b. \( |-20+5\times 3| \)

Jawaban

\( |-20+5\times 3|=|-20+15|=|-5|=|5| \)

[collapse]

c.   \( |-2|^2+|-5|-3\times|\frac{-4}{3}| \)

Jawaban

\( |-2|^2+|-5|-3\times|\frac{-4}{3}|=2^2+5-3\times \frac{4}{3}=4+5-4=5 \)

[collapse]

 d. \( |2^2-3^2\ |\times|(3-5)^3|-|2^2-2|^2 \)

Jawaban

[collapse]

e. \( |\sqrt{30}-5| \)

Jawaban

\(\sqrt{30}-5 \)

[collapse]

f. \( |5-\sqrt{30}| \)

Jawaban

\( \sqrt{30}-5 \)    kenapa? karena \( \sqrt{30}-5 \) menghasilkan bilangan positif, sedangkan \( 5-\sqrt{30}\) menghasilkan bilangan negatif, hasil nilai mutlak tidak boleh negatif.

[collapse]

B. Persamaan Nilai mutlak

1. Konsep Persamaan Nilai Mutlak

Sebelum kita masuk ke pembahasan persamaan nilai mutlak, mari kita ulang kembali konsep nilai mutlak di atas.

  1. Berapakah nilai dari x yang menyebabkan \(|x|=5\)?
    Jawaban

    jawabannya adalah \(x=5\) atau \(x=-5\), karena \(|5|=5 \) dan \( |-5|=5 \)

    [collapse]
  2. Berapakah nilai x yang menyebabkan \( |x+2|=7 \)?
    Jawaban

    jawabannya adalah \( x=5 \) dan \( x=-9 \) , karena \( |5+2|=|7|=7 \) dan \( |-9+2|=|-7|=7 \)

    [collapse]
  3. Berapakah nilai dari x yang menyebabkan \(|x|=-2\)?
    Jawaban

    tidak ada nilai x yang memenuhi untuk semua bilangan real. Ingat! Nilai mutlak adalah konsep jarak, jadi tidak pernah bernilai negatif

    [collapse]

Definisi:

Nilai mutlak dari sebarang bilangan \(x\) ϵ bilangan real, yang dinotasikan dengan \(|x|\), didefinisikan sebagai berikut.

2. Bentuk Umum Persamaan Nilai Mutlak

Untuk \(|f(x)|\) dan \(|g(x)|\) fungsi dalam variabel \(x\):

1. \(|f(x)|=c\) dengan syarat \(c\geq 0\)

2. \(|f(x)|=|g(x)|\)

3. \(|f(x)|=g(x)\) dengan syarat \(g(x)\geq 0\)

3. Menentukan Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak, ada beberapa metode yang bisa kita gunakan, antara lain:

  1. Menggunakan definisi nilai mutlak
  2. Menguadratkan kedua ruas
  3. menggunakan grafik

Mari kita coba beberapa contoh soal berikut.

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut ini

a. \(|6-3x|=3\)

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal ini kita lebih mudah menggunakan definisi. Ingat! bilangan di dalam mutlak bisa bernilai negatif dan bisa bernilai positif atau nol

# Untuk bilangan di dalam mutlak bernilai positif atau nol, (\(6-3x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2\))

\((6-3x)=3 \)

\( -3x=3-6 \)

\( -3x=-3 \)

\( x=1 \)

# Untuk bilangan di dalam mutlak bernilai negatif, (\(6-3x<0 \Leftrightarrow x>2\) )

\(-(6-3x)=3 \)

\( 6-3x=-3 \)

\( -3x=-3-6 \)

\( -3x=-9 \)

\( x=3 \)

jadi, himpunan penyelesainnya adalah {1, 3}

[collapse]

b. \(|6x-12|=|x+8|\)

Penyelesaian

untuk soal ini bisa menggunakan definisi nilai mutlak atau mengkuadratkan kedua ruas, menurut saya sendiri lebih mudah menggunakan kuadrat.

# Cara 1: Menggunakan definisi nilai mutlak

Jika menggunakan cara ini, kita harus membagi menjadi 4 kasus penyelesaian, yaitu \((+ = +), (+ = -), (- = +),\) dan \((- = -)\). Khusus pada persamaan, 4 kasus tersebut bisa disederhanakan lagi menjadi 2 kasus, karena kasus \( (+ = +) \) akan bernilai sama dengan yang \( (- = -) \) , begitu juga kasus \( (+ = -) \) akan bernilai sama dengan \( (- = +) \) .

kasus 1: \((+=+)\) atau \((-=-)\)

\((6x-12)=(x+8)\)

\(6x-x=8+12\)

\(5x=20\)

\(x=4\)

kasus 2: \((+=-)\) atau \((-=+)\)

\(-(6x-12)=(x+8)\)

\(-6x+12=x+8\)

\(-6x-x=8-12\)

\(-7x=-4\)

\(x=\frac{4}{7}\)

Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {\(\frac{4}{7}, 4 \)}

# Cara 2: Mengkuadratkan kedua ruas

\((|6x-12|)^2=(|x+8|)^2\)

\((6x-12)^2=(x+8)^2\)

\((6x-12)^2-(x+8)^2=0\) → (gunakan \(a^2+b^2=(a+b)(a-b) \))

\([(6x-12)+(x+8)] [(6x-12)-(x+8)] =0\)

\((7x-4) (5x-20)=0\)

\((7x-4)=0 \) atau \((5x-20)=0\)

\(x=\frac{4}{7} \) atau \(x=4\)

Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {\(\frac{4}{7}, 4 \)}

[collapse]

c. \(|8-2x|+x-5=0\)

Penyelesaian

Gunakan cara mengkuadratkan kedua ruas, tapi ubah dulu ke dalam bentuk |f(x)|=g(x).

\(|8-2x|+x-5=0\)

\(|8-2x|=5-x\)

\((8-2x)^2=(5-x)^2\)

\((8-2x)^2-(5-x)^2=0\)

\([(8-2x)+(5-x)][(8-2x)-(5-x)] =0\)

\((13-3x)(3-x) =0\)

\(x=\frac{13}{3}\) atau \(x=3\)

# Bisa juga menggunakan definisi nilai mutlak

Untuk \(8-2x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 4\)

\(8-2x=5-x\)

lanjutkan sebagai latihan

Untuk \(8-2x < 0 \Leftrightarrow x > 4\)

\(-(8-2x)=5-x\)

lanjutkan sebagai latihan

[collapse]

C. Pertidaksamaan Nilai mutlak

1 . Konsep Pertidaksamaan nilai mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat tanda mutlak dan variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Berikut ini beberapa contoh pertidaksamaan nilai mutlak.

  • \(|x-5|<2 \)
  • \( |x-4|>3 \)
  • \(|x^2-x-2| \geq 4 \)
  • \( |x-3| \leq |2x-5| \)

2. Bentuk Umum pertidaksamaan nilai mutlak

Bentuk 1: \(|f(x)|>c, |f(x)|<c, |f(x)| \geq c, |f(x)| \leq c\)

Bentuk 2: \(|f(x)|>|g(x)|, |f(x)|< |g(x)| , |f(x)| \geq |g(x)| , |f(x)| \leq |g(x)| \)

Bentuk 3: \(|f(x)|>g(x), |f(x)|< g(x) , |f(x)| \geq g(x) , |f(x)| \leq g(x) \)

3. Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak

Metode penyelesaian untuk pertidaksamaan nilai mutlak tidak jauh berbeda dengan persamaan nilai mutlak, bisa menggunakan definisi nilai mutlak, mengkuadratkan kedua ruas, atau metode grafik.

Sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak

Contoh Soal:

1 . Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan \(|x-5|<2 \).

Penyelesaian

Cara 1: Dengan menggunakan definisi

#untuk \(5-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 5 \)

\( \Leftrightarrow x-5<2\)

\( \Leftrightarrow x<7 \)

#untuk \(5-x < 0 \Leftrightarrow x > 5 \)

\( -(x-5)<2 \)

\( \Leftrightarrow x-5>-2 \)

\( \Leftrightarrow x>-2+5 \)

\( \Leftrightarrow x>3 \)

penyelesainnya adalah \( x>3 \) dan \( x<7 \). jika digabung menjadi \(3<x<7\)

Cara 2: Menggunakan Sifat (Sifat ke-4)

\(-2<x-5<2\)

\(\Leftrightarrow -2+5<x-5+5<2+5\)

\(\Leftrightarrow 3<x<7\)

[collapse]

2. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(|5-x| \leq |x-3|\)

Penyelesaian

Gunakan cara mengkuadratkan kedua ruas

\(|5-x|^2 \leq |x-3|^2\)

\(\Leftrightarrow (5-x)^2 \leq (x-3)^2\)

\(\Leftrightarrow (5-x)^2-(x-3)^2 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow [(5-x)+(x-3)] [(5-x)-(x-3)] \leq 0\)

\(\Leftrightarrow (2)(8-2x) \leq 0\) (kedua ruas dibagi 2)

\(\Leftrightarrow (8-2x) \leq 0\)

\(\Leftrightarrow -2x \leq -8\)

\(\Leftrightarrow 2x \geq 8\)

\(\Leftrightarrow x \geq 4\)

[collapse]

3. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(|2-x|>|2x+4|\)

Penyelesaian

\(|2-x|^2>|2x+4|^2\)

\((2-x)^2-(2x+4)^2>0\)

\([(2-x)+(2x+4)] [(2-x)-(2x+4)] >0\)

\((6+x) (-2-3x) >0\)

Pembuat nol:

\(6+x=0\) atau \(-2-3x=0\)

\(x=-6\) atau \(x=\frac{2}{3}\)

jadi, himpunan penyelesainnya adalah {\(x|x<-6\) atau \(x> \frac{2}{3}\)}

[collapse]

4. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan \(|x-2|>2x-1\)

Penyelesaian

Kita selsaikan menggunakan definisi nilai mutlak

#untuk \(x-2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2\)

\(x-2>2x-1\)

\(-2+1>2x-x\)

\(-1>x\)

\(x<-1\)

\(x<-1\) tidak memenuhi. Berdasarkan syarat haruslah \(x \geq 2\)

#untuk \(x-2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\)

\(-(x-2)>2x-1\)

\(-x+2>2x-1\)

\(1+2>2x+x\)

\(3>3x\)

\(1>x\)

\(x<1\) (Memenuhi karena \(x<2\))

Jadi penyelesainnya adalah \(x<1\)

Untuk mengecek jawaban biar lebih valid, coba substitusi bilangan 2, 1, 0, -1, -2, -3 ke dalam soal. Apakah pernyataannya bernilai benar?

[collapse]

Bersambung ….