Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret.

Untuk menyatakan suatu urutan atau suku ke-n dari suatu barisan bisa kita notasikan dengan lambang: Un 

Suku ke-1= U1

Suku ke-2= U2

Suku ke-n= Un

Contoh Barisan: 2, 4, 6, 8, .., 100 ==> aturan: di tambah 2

Contoh Deret: \(2+4+6+8+ … +100\)

Pengertian Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan dan deret aritmetika merupakan suatu barisan dan deret di mana nilai pada masing-masing sukunya diperoleh dari suku sebelumnya lewat penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b.

Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan tersebut selalu sama yakni b.

Maka:

Un – U(n-1) = b

Barisan Aritmetika

Perthatikan contoh berikut:

4, 11, 18, 25 merupakan barisan aritmetika dengan nilai b = 7.

Nilai b diperoleh dari:

\(b=11-4=18-11=25-18=7\)

Dari contoh di atas, setiap dua suku yang berurutan memiliki beda atau selisih yang sama.

Beda dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika dirumuskan dengan

\(b=U_{2}-U_{1}=U_{3}-U_{2}=U_{4}-U_{3}= … =U_{n}-U_{n-1}\)

Kita kembali lagi ke contoh di atas.

Jika barisan aritmetika: 4, 11, 18, 25 kita lanjutkan sampai suku ke 100, berapakah nilai suku ke-100?

Jika kita menghitung secara manual, kita akan membutuhkan waktu yang cukup lama. Untuk itu kita memerlukan rumus untuk menyederhanakan perhitungan.

Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah

\(U_{n}=a+(n-1)b\)

Keterangan:

\(a=U_{1}\) merupakan suku pertama pada barisan aritmetika

b menyatakan beda barisan aritmetika

n menyatakan banyak suku barisan aritmetika

Jadi, nilai suku ke-100 dari barisan 4, 11, 18, 25, … adalah

\(U_{n}=a+(n-1)b \)
\(U_{100}=4+(100-1)7\)
\(U_{100}=4+(99)7\)
\(U_{100}=697\)

Deret Aritmetika

Jika suku-suku suatu arisan aritmetika dijumlahkan, akan diperoleh deret aritmetika.

Contoh deret aritmetika: \(4+11+18+25+…\).

Berapakah jumlah 20 suku pertama deret tersebut?

Untuk menghitung hasilnya, kita gunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika.

\(S_{n}=\frac{n}{2}(U_{1}+U_{n})\) atau \(S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)\)

Sehingga, deret \(4+11+18+25+… \) mempunyai \(U_{1}=4 \), \(b=7 \) dan \( n=20 \). sedangkan \(U_{20} \) belum diketahui, sehingga kita gunakan rumus

\(S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)\)
\(S_{20}=\frac{20}{2}(2.4+(20-1)7)\)
\(S_{20}=10(8+(19)7)\)
\(S_{20}=10(141)\)
\(S_{20}=1410\)

Jadi, jumlah 20 suku pertama deret \(4+11+18+25+… \) adalah \( 1.410 \) .

artinya, \(4+11+18+25+…+137=1410 \), \( 137 \) adalah \(U_{20}\)

Suku ke-n barisan aritmetika juga dapat ditentukan menggunakan rumus:

\(U_{n}=S_{n}-S_{n-1}\)

Keterangan: \(S_{n}\) adalah jumlah n suku pertama dan \(S_{n-1}\) adalah \((n-1)\) suku pertama.

Contoh:

1 . Diketahui deret aritmetika 3 + 8 + 13 + 18 + … .

    Tentukanlah:

a. rumus suku ke-n untuk barisan aritmetika yang bersesuaian

Penyelesaian

Barisan aritmetikanya adalah 3, 8, 13, 18, … .

Maka a = 3, b = 5

\(U_n = a + (n – 1) b \)
\( U_n = 3 + (n – 1) 5 \)
\( U_n = 3 + 5n – 5 \)
\( U_n = 5n – 2 \)

[collapse]

b. rumus jumlah n suku pertama

Penyelesaian

Jumlah n suku pertama adalah

\( S_n = \frac{1}{2} n ( a + Un ) \)
\( S_n = \frac{1}{2} n ( 3 + 5n – 2 ) \)
\( S_n= \frac{1}{2} n ( 5n + 1 ) \)

[collapse]

c. jumlah 20 suku pertama

Penyelesaian

\( S_{20} = \frac{1}{2} · 20 ( 5 · 20 + 1 ) \)
\( S_{20 } = 10 (101) \)
\( S_{20} = 1010 \)

[collapse]

2. Tentukan jumlah 80 suku pertama deret 2 + 5 + 8 + 11 + … .

Penyelesaian

a = 2, b = 5 – 2 = 3, n = 80            

Kita cari lebih dahulu U80

\(U_n = a + ( n – 1 ) b \)
\( U_{80} = 2 + ( 80 – 1 ) 3 \)
\( U_{80} = 2 + ( 79 ) 3 \)
\( U_{80} = 2 + 237 \)
\( U_{80} = 239 \)

Maka jumlah 80 suku pertama adalah

\( S_{80} = \frac{1}{2} · 80 ( 2 + 239 ) \)
\( S_{80 }= 40 ( 241 ) \)
\( S_{80} = 9640 \)

[collapse]