Sebelum memulai belajar fungsi kuadrat, sebaiknya pelajari terelbih dulu apa itu Fungsi dan fungsi Linear.

Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

\(ax^2+bx+c=0\)

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

\( f(x)=ax^2+bx+c \) atau \(y= ax^2+bx+c \) dengan \(a \neq 0\).

Suatu fungsi selalu berkaitan dengan grafik fungsi. Begitu juga dengan fungsi kuadrat.

Grafik fungsi kuadrat memiliki bentuk seperti parabola. Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat harus ditentukan titik potong dengan sumbu koordinat dan juga titik ekstrim.

Langkah-langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Untuk langkah menggambar grafik fungsi kuadrat, kita memerlukan beberapa titik, yaitu:

  1. titik potong dengan sumbu \( x \) apabila \( y=0 \)
  2. titik potong dengan sumbu \( y \) apabila \( x=0 \)
  3. Titik puncak atau titik balik (\(x_{p}, y_{p}\))

dengan \(x_{p}=\frac{-b}{2a}\) dan \( y_{p} =\frac{-D}{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\).

Berikut penjelasan dari masing-masing step:

1 . Titik potong dengan sumbu \( x \)

Agar grafik fungsi kuadrat \(y = ax^2 + bx + c = 0 \) memotong sumbu x maka nilai y haruslah sama dengan 0
\(y = 0 \rightarrow ax^2 + bx + c = 0 \)
                \( (x – x_{1})(x – x_{2}) = 0 \)
Koordinat titik potongnya adalah \( (x_{1}, 0) \) dan \( (x_{2}, 0) \) .

Ada atau tidaknya titik potong dengan sumbu x, bisa dilihat dari nilai deskriminannya (\(D=b^2-4ac\)), yaitu:

1) Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x pada dua titik
2) Jika D = 0 maka parabola menyinggung sumbu x atau berpotongan di satu titik
3) Jika D < 0 maka parabola tidak menyinggung ataupun memotong sumbu x .

Apabila D=0 atau D<0, kita membutuhkan titik bantu untuk menggambar grafik secara mulus dan akurat. Ttitik bantu yang dibutuhkan bisa satu titik atau lebih.

2. Titik potong dengan sumbu \( y \)

Agar grafik fungsi kuadrat \(y = ax^2 + bx + c = 0 \) memotong sumbu x maka nilai x haruslah sama dengan 0
\( x = 0 \rightarrow y = a(0)^2 + b(0) + c = c \)

\( y=c \)

Koordinat titik potongnya adalah (0 , c)

3. Titik puncak atau titik balik \((x_{p}, y_{p})\)

Bentuk \(y = ax^2 + bx + c \) dapat ditulis menjadi \( y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{b^2 – 4ac}{-4a} \)

Titik puncak parabola : \((x_{p}, y_{p})= (\frac{-b}{2a} , \frac{b^2 – 4ac}{-4a}) \)
x disebut sumbu simetri
y disebut nilai ekstrim

Bentuk grafik parabola terbuka ke atas atau ke bawah, di pengaruhi oleh nilai a.

  1. Jika a > 0 maka titik puncak adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas.
  2. Jika a < 0 maka titik puncak adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah.

Sehingga kita bisa lihat hubungan antara nilai \(a\) dan \( D \) dalam gambar berikut:

Hubungan antara nilai a dan D

Contoh Soal dan Pembahasan Grafik Fungsi Kuadrat

Gambarlah grafik fungsi kuadrat \(f(x)=x^2-8x+12\).

Penyelesaian:

\(f(x)=x^2-8x+12\) kita ubah menjadi \(y=x^2-8x+12\) denga a=1, b=-8, dan c=12.

1 . Titik Potong dengan Sumbu X, y=0

\(0=x^2-8x+12\) \(\Leftrightarrow (x-2)(x-6)=0\)

\(x_{1}=2\) dan \(x_{2}=6\)

Titik potong dengan Sumbu X adalah (2, 0) dan (6, 0).

2. Titik Potong dengan Sumbu Y, x=0

\(y=0^2-8(0)+12\) \(\Leftrightarrow y=12\)

Titik potong dengan Sumbu Y adalah (0, 12).

3. Titik Puncak (\(x_{p},y_{p}\))

\(x_{p}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2(1)}=4\)

\(y_{p}\) bisa kita hitung mengunakan rumus \(\frac{-D}{4a}\) atau kita langsung substitusi nilai \(x_{p}\) ke dalam fungsi kuadrat.

\(x= 4\) kita substitusi ke \(y=x^2-8x+12\)

\(y=4^2-8(4)+12\) \(\Leftrightarrow y=-4\)

Titik Puncak \( (x_{p},y_{p})=(4,-4) \)

Tuliskan semua titik-titik yang sudah di dapatkan pada diagram cartesius
Grafik dari fungsi kuadrat \(f(x)=x^2-8x+12\)